Ανανεωτικές διαδικασίες με κόστη: Ορισμοί και παραδείγματα. Μέσος ρυθμός κόστους και υπολογισμοί με το στοιχειώδες ανανεωτικό θεώρημα με κόστη. Αναγεννητικές διαδικασίες και υπολογισμοί μέσου ρυθμού κόστους. Εφαρμογές. Μαρκοβιανές αλυσίδες με κόστη: Ορισμοί και παραδείγματα. Υπολογισμοί μέσους ρυθμούς κόστους. Εφαρμογές. Εισαγωγή στο Δυναμικό προγραμματισμό: Βασική θεωρία για προβλήματα πεπερασμένου ορίζοντα. Εφαρμογές με επαγωγικά επιχειρήματα. Εφαρμογές με το επιχείρημα της ανταλλαγής. Προβλήματα βέλτιστου σταματήματος. Εισαγωγή στις Ουρές Αναμονής: Περιγραφή, ονοματολογία και μέτρα απόδοσης. Βασικά αποτελέσματα. Ανάλυση μέσης τιμής. Μαρκοβιανές ουρές. Βέλτιστος σχεδιασμός συστημάτων. Εισαγωγή στη Στοχαστική Θεωρία Ελέγχου Αποθεμάτων: Το μοντέλο του εφημεριδοπώλη, μοντέλα πολλών περιόδων. Στοιχεία Θεωρίας Παιγνίων: Παιχνίδια σε κανονική μορφή. Σημείο στρατηγικής ισορροπίας (ΣΣΙ ή σημείο Nash). Πεπερασμένα παιχνίδια δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος (πινακοπαιχνίδια) και θεώρημα Mínimax. Εξισωτικές στρατηγικές και αλγόριθμοι επίλυσης πινακοπαιχνιδιών. Απλοποιήσεις.

Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου: Βασικοί ορισμοί. Υπολογισμοί για τις μεταβατικές κατανομές. Κατάταξη καταστάσεων και οριακή συμπεριφορά αδιαχώριστων αλυσίδων. Υπολογισμοί στάσιμων κατανομών. Αντιστρεψιμότητα Μαρκοβιανών αλυσίδων και εφαρμογές. Πιθανότητες και μέσοι χρόνοι απορρόφησης για διαχωρίσιμες Μαρκοβιανές αλυσίδες. Η στοχαστική διαδικασία Poisson: Υπολογισμοί και ιδιότητες. Μη-ομογενής και σύνθετη διαδικασία Poisson. Μαρκοβιανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου: Βασικοί ορισμοί. Υπολογισμοί για τις μεταβατικές κατανομές. Κατάταξη καταστάσεων και οριακή συμπεριφορά αδιαχώριστων αλυσίδων. Υπολογισμοί στάσιμων κατανομών. Αντιστρεψιμότητα Μαρκοβιανών αλυσίδων και εφαρμογές. Πιθανότητες και μέσοι χρόνοι απορρόφησης για διαχωρίσιμες Μαρκοβιανές αλυσίδες. Ανανεωτική Θεωρία: Εισαγωγή, στοιχειώδες ανανεωτικό θεώρημα, ανανεωτική συνάρτηση και ανανεωτική εξίσωση, βασικό ανανεωτικό θεώρημα. Υπολειπόμενος και παρελθών χρόνος ανανέωσης. Εφαρμογές. Martingales διακριτού χρόνου: Βασικές ιδιότητες. Θεώρημα επιλεκτικής στάσης. Σύγκλιση martingales. Εφαρμογές. Κλαδωτές διαδικασίες. Τυχαίοι περίπατοι.

Στο μάθημα αυτό θα διδάσκονται σύγχρονα θέματα αλγορίθμων που δεν καλύπτονται από τα υπόλοιπα μαθήματα του προγράμματος.

Στο μάθημα αυτό θα διδάσκονται σύγχρονα θέματα λογικής που δεν καλύπτονται από τα υπόλοιπα μαθήματα του προγράμματος.

Επανάληψη βασικών εννοιών, αξιώματα της ZFC, διατακτικοί αριθμοί, υπερπεπερασμένη αναδρομή και επαγωγή. Πληθάριθμοι και πληθική αριθμητική. Το Αξίωμα της Επιλογής και το Αξίωμα της Θεμελίωσης. Το σύμπαν V των καλώς θεμελιωμένων συνόλων. Σχετικοποίηση και απολυτότητα πρωτοβάθμιων τύπων, το Θεώρημα της Ανάκλασης. Το κατασκευάσιμο σύμπαν L του Godel. Η (σχετική) συνέπεια του Αξιώματος της Επιλογής και της Υπόθεσης του Συνεχούς με τα υπόλοιπα αξιώματα της ZFC συνολοθεωρίας.

Δηλωτική, αξιωματική και μηχανική σημασιολογία. Ρόλος της σημασιολογίας στη σχεδίαση και ανάπτυξη σύγχρονων γλωσσών προγραμματισμού. Σημασιολογία διαδικαστικών γλωσσών. Πλήρεις σχέσεις μερικής διάταξης (cpos). Μονοτονικές και Συνεχείς Συναρτήσεις. Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Kleene. Σημασιολογία συναρτησιακών γλωσσών με αναδρομικούς ορισμούς και συναρτήσεις υψηλής τάξης. Σημασιολογία λογικών προγραμμάτων. Μοντέλα Herbrand. Πλήρη πλέγματα και θεώρημα σταθερού σημείου των Knaster-Tarski. Θεώρημα ελάχιστου μοντέλου Herbrand. Σημασιολογία της Άρνησης στο Λογικό Προγραμματισμό.  Στρωματοποιημένα και τοπικά στρωματοποιημένα προγράμματα. Καλώς-θεμελιωμένη σημασιολογία (well-founded semantics). Σημασιολογία σταθερού μοντέλου (stable model semantics). Λογικός προγραμματισμός υψηλής τάξης. Θεωρία άπειρων παιγνίων και εφαρμογές στη σημασιολογία γλωσσών προγραμματισμού.

Σχέσεις, Συναρτήσεις, Γλώσσες, Προβλήματα, Επαγωγή, Αποδεικτικές τεχνικές. Μηχανές Turing. Turing Απαριθμήσιμες Γλώσσες. Παραλλαγές/Επεκτάσεις Μηχανών Turing. Γενικές γραμματικές.    Πρωτογενώς Αναδρομικές Συναρτήσεις. Καθολικές Μηχανές Turing. Αυτοαναφορά, το θεώρημα της αναδρομής. Βαθμοί μη-αποφανσιμότητας.

Εισαγωγή στην παραμετρική πολυπλοκότητα, ισοδυναμίες μέτρων πολυπλοκότητας. Αλγοριθμικές τεχνικές: φραγμένα δέντρα αναζήτησης, επαναληπτική συμπίεση, άπληστος εντοπισμός, αναδρομική κατανόηση, σημαντικοί διαχωριστές, κανόνες αναγωγής, η τεχνική της ασήμαντης κορυφής. Πιθανοτικές μέθοδοι, πυρηνοποίηση, πυρηνοποίηση  Turing. Δεντροπλάτος, το θεώρημα του Courcelle, δυναμικός προγραμματισμός, διδιαστατότητα, εναλλακτικές παράμετροι πλάτους, παραμετρικές αναγωγές, μετααλγοριθμικά θεωρήματα. Οι κλάσεις para-NP και XP, η W-ιεραρχία: FPT, W[1],W[2],...,W[SAT], W[P] και ορισμοί της μέσω κυκλωμάτων, λογικών τύπων και μοντέλων μηχανών Turing. Κάτω φράγματα και υπόθεση εκθετικού χρόνου, ισχυρή υπόθεση εκθετικού χρόνου, παραμετρική πολυπλοκότητα πολυωνυμικά επιλύσιμων προβλημάτων.

Το αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη αλγοριθμικών μεθόδων και η ανάλυση πολυπλοκότητας για υπολογιστικά προβλήματα και θεμελιώδεις διαδικασίες που σχετίζονται με δίκτυα, κυρίως υπολογιστών και επικοινωνιών. Ορισμένα από τα θέματα που θα καλυφθούν: Αποδοτικοί αλγόριθμοι (ακριβείς, προσεγγιστικοί, πιθανοτικοί) για γραφοθεωρητικά προβλήματα βελτιστοποίησης δικτύων: Vertex Cover, Traveling Salesman Problem, Steiner tree, Maximum Flow, Matching, Edge Coloring, Multicommodity Flow, Facility Location, Multicut, k-Center, Clustering, Scheduling. Κατανεμημένα πρωτόκολλα: εκλογήαρχηγού, broadcasting, gossiping, byzantine agreement, secretsharing. Ασύρματα ad hoc δίκτυα. Συγχρονισμένοι και ασύγχρονοι αλγόριθμοι. Fault tolerance. Προβλήματα αυτόνομων οντοτήτων, εξερεύνηση δικτύων, προβλήματα συνάντησης (rendezvous), εντοπισμός βλαβών σε δίκτυα. Πρωτόκολλα δρομολόγησης, compact routing, geometric routing. Ειδικά θέματα: χρονοδρομολόγηση (scheduling), δρομολόγηση και ανάθεση συχνοτήτων σε οπτικά δίκτυα, αλγόριθμοι πλοήγησης, προγραμματισμός δρομολογίων οχημάτων. Στοιχεία θεωρίας παιγνίων: σημεία ισορροπίας Nash, "κόστος της αναρχίας". Εγωιστική δρομολόγηση σε κλασικά, ασύρματα και οπτικά δίκτυα. Παίγνια συμφόρησης. Σύγκλιση σε ισορροπίες Nash και σχεδίαση μηχανισμών.

Σύντομη ανασκόπηση Προτασιακής Λογικής. Πρωτοτάξια Λογική. Αλήθεια και μοντέλα. Τυπικές αποδείξεις (συναγωγές). Θεώρημα αξιοπιστίας και πληρότητας. Ερμηνείες (στοιχειώδης θεωρία μοντέλων). Μη συμβατική ανάλυση. Μη-διαγνωσιμότητα και μη πληρότητα. Αναδρομικές συναρτήσεις. Αριθμητικοποίηση σύνταξης. Θεωρία αριθμών. Πρώτο και δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας.