Μη-κατασκευαστική απόδειξη για ένα θεώρημα σταθερού σημείου πάνω σε δομές λεξικογραφικού πλέγματος

Στη διπλωματική αυτή αναπτύσσουμε μια νέα, μη-κατασκευαστική απόδειξη του θεωρήματος σταθερού σημείου, που προτάθηκε από τους Α. Χαραλαμπίδη, Γ. Χατζηαγάπη, και Π. Ροντογιάννη (LICS20). Το θεώρημα αυτό αφορά στην ύπαρξη ελάχιστου σταθερού σημείου μιας κλάσης συναρτήσεων που διαθέτουν ένα περιορισμένο είδος μονοτονικότητας, και οι οποίες είναι ορισμένες σε ειδικώς δομημένα μερικώς διατεταγμένα σύνολα, τα οποία ονομάζουμε δομές λεξικογραφικού πλέγματος. Όταν το θεώρημα εφαρμόζεται σε μονοτονικές συναρτήσεις, δίνει ως ειδική περίπτωση το κλασικό θεώρημα των Knaster-Tarski.

Η αρχική απόδειξη του θεωρήματος, όπως παρουσιάζεται στο LICS 2020, είναι κατασκευαστική. Η προτεινόμενη απόδειξη είναι πιο απλή από την αρχική και δίνει μια εναλλακτική διαίσθηση και περαιτέρω εμβάθυνση στο θεώρημα σταθερού σημείου. Επιπροσθέτως, αποδεικνύουμε ότι τα σύνολα των προ-σταθερών, μετα-σταθερών, και σταθερών σημείων των συναρτήσεων πάνω σε αυτές τις δομές, σχηματίζουν πλήρη πλέγματα. Οι αποδείξεις μας έχουν επαληθευτεί μέσω του Coq. Τα αποτελέσματά μας έχουν άμεσες εφαρμογές σε περιοχές της Πληροφορικής, όπου χρησιμοποιούνται μη-μονοτονικοί φορμαλισμοί, όπως στην Τεχνητή Νοημοσύνη, στο Λογικό Προγραμματισμό και στη Θεωρία Τυπικών Γλωσσών.