Στο μάθημα αυτό θα διδάσκονται σύγχρονα θέματα λογικής που δεν καλύπτονται από τα υπόλοιπα μαθήματα του προγράμματος.

Επανάληψη βασικών εννοιών, αξιώματα της ZFC, διατακτικοί αριθμοί, υπερπεπερασμένη αναδρομή και επαγωγή. Πληθάριθμοι και πληθική αριθμητική. Το Αξίωμα της Επιλογής και το Αξίωμα της Θεμελίωσης. Το σύμπαν V των καλώς θεμελιωμένων συνόλων. Σχετικοποίηση και απολυτότητα πρωτοβάθμιων τύπων, το Θεώρημα της Ανάκλασης. Το κατασκευάσιμο σύμπαν L του Godel. Η (σχετική) συνέπεια του Αξιώματος της Επιλογής και της Υπόθεσης του Συνεχούς με τα υπόλοιπα αξιώματα της ZFC συνολοθεωρίας.

Δηλωτική, αξιωματική και μηχανική σημασιολογία. Ρόλος της σημασιολογίας στη σχεδίαση και ανάπτυξη σύγχρονων γλωσσών προγραμματισμού. Σημασιολογία διαδικαστικών γλωσσών. Πλήρεις σχέσεις μερικής διάταξης (cpos). Μονοτονικές και Συνεχείς Συναρτήσεις. Θεώρημα Σταθερού Σημείου του Kleene. Σημασιολογία συναρτησιακών γλωσσών με αναδρομικούς ορισμούς και συναρτήσεις υψηλής τάξης. Σημασιολογία λογικών προγραμμάτων. Μοντέλα Herbrand. Πλήρη πλέγματα και θεώρημα σταθερού σημείου των Knaster-Tarski. Θεώρημα ελάχιστου μοντέλου Herbrand. Σημασιολογία της Άρνησης στο Λογικό Προγραμματισμό.  Στρωματοποιημένα και τοπικά στρωματοποιημένα προγράμματα. Καλώς-θεμελιωμένη σημασιολογία (well-founded semantics). Σημασιολογία σταθερού μοντέλου (stable model semantics). Λογικός προγραμματισμός υψηλής τάξης. Θεωρία άπειρων παιγνίων και εφαρμογές στη σημασιολογία γλωσσών προγραμματισμού.

Σχέσεις, Συναρτήσεις, Γλώσσες, Προβλήματα, Επαγωγή, Αποδεικτικές τεχνικές. Μηχανές Turing. Turing Απαριθμήσιμες Γλώσσες. Παραλλαγές/Επεκτάσεις Μηχανών Turing. Γενικές γραμματικές.    Πρωτογενώς Αναδρομικές Συναρτήσεις. Καθολικές Μηχανές Turing. Αυτοαναφορά, το θεώρημα της αναδρομής. Βαθμοί μη-αποφανσιμότητας.

Εισαγωγή στην παραμετρική πολυπλοκότητα, ισοδυναμίες μέτρων πολυπλοκότητας. Αλγοριθμικές τεχνικές: φραγμένα δέντρα αναζήτησης, επαναληπτική συμπίεση, άπληστος εντοπισμός, αναδρομική κατανόηση, σημαντικοί διαχωριστές, κανόνες αναγωγής, η τεχνική της ασήμαντης κορυφής. Πιθανοτικές μέθοδοι, πυρηνοποίηση, πυρηνοποίηση  Turing. Δεντροπλάτος, το θεώρημα του Courcelle, δυναμικός προγραμματισμός, διδιαστατότητα, εναλλακτικές παράμετροι πλάτους, παραμετρικές αναγωγές, μετααλγοριθμικά θεωρήματα. Οι κλάσεις para-NP και XP, η W-ιεραρχία: FPT, W[1],W[2],...,W[SAT], W[P] και ορισμοί της μέσω κυκλωμάτων, λογικών τύπων και μοντέλων μηχανών Turing. Κάτω φράγματα και υπόθεση εκθετικού χρόνου, ισχυρή υπόθεση εκθετικού χρόνου, παραμετρική πολυπλοκότητα πολυωνυμικά επιλύσιμων προβλημάτων.

Το αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη αλγοριθμικών μεθόδων και η ανάλυση πολυπλοκότητας για υπολογιστικά προβλήματα και θεμελιώδεις διαδικασίες που σχετίζονται με δίκτυα, κυρίως υπολογιστών και επικοινωνιών. Ορισμένα από τα θέματα που θα καλυφθούν: Αποδοτικοί αλγόριθμοι (ακριβείς, προσεγγιστικοί, πιθανοτικοί) για γραφοθεωρητικά προβλήματα βελτιστοποίησης δικτύων: Vertex Cover, Traveling Salesman Problem, Steiner tree, Maximum Flow, Matching, Edge Coloring, Multicommodity Flow, Facility Location, Multicut, k-Center, Clustering, Scheduling. Κατανεμημένα πρωτόκολλα: εκλογήαρχηγού, broadcasting, gossiping, byzantine agreement, secretsharing. Ασύρματα ad hoc δίκτυα. Συγχρονισμένοι και ασύγχρονοι αλγόριθμοι. Fault tolerance. Προβλήματα αυτόνομων οντοτήτων, εξερεύνηση δικτύων, προβλήματα συνάντησης (rendezvous), εντοπισμός βλαβών σε δίκτυα. Πρωτόκολλα δρομολόγησης, compact routing, geometric routing. Ειδικά θέματα: χρονοδρομολόγηση (scheduling), δρομολόγηση και ανάθεση συχνοτήτων σε οπτικά δίκτυα, αλγόριθμοι πλοήγησης, προγραμματισμός δρομολογίων οχημάτων. Στοιχεία θεωρίας παιγνίων: σημεία ισορροπίας Nash, "κόστος της αναρχίας". Εγωιστική δρομολόγηση σε κλασικά, ασύρματα και οπτικά δίκτυα. Παίγνια συμφόρησης. Σύγκλιση σε ισορροπίες Nash και σχεδίαση μηχανισμών.

Σύντομη ανασκόπηση Προτασιακής Λογικής. Πρωτοτάξια Λογική. Αλήθεια και μοντέλα. Τυπικές αποδείξεις (συναγωγές). Θεώρημα αξιοπιστίας και πληρότητας. Ερμηνείες (στοιχειώδης θεωρία μοντέλων). Μη συμβατική ανάλυση. Μη-διαγνωσιμότητα και μη πληρότητα. Αναδρομικές συναρτήσεις. Αριθμητικοποίηση σύνταξης. Θεωρία αριθμών. Πρώτο και δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας.

Ισομορφισμοί, αυτομορφισμοί, ομάδες αυτομορφισμών. Μετασχηματισμοί και σχέσεις σε γραφήματα. Βαθμοί, πυκνότητα, ελαχιστομέγιστο θεώρημα εκφυλισμού. Μονοπάτια, κύκλοι, διάμετρος, ακτίνα, κέντρο, απόκεντρο, περιφέρεια, περίμετρος. Συνεκτικότητα, δισυνεκτικά γραφήματα, το Θεώρημα του Menger, Το Θεώρημα του Tutte για την 3-συνεκτικότητα. Δάση και δέντρα, δεντροπαράγοντες. Επίπεδα γραφήματα, τοπολογικός ισομορφισμός, δυικά γραφήματα, πυκνότητα και επιπεδότητα, Το θεώρημα του Kuratowski. Χρωματισμοί γραφημάτων, Χρωματικότητα και εκφυλισμός, Το θεώρημα του Heawood, Το θεώρημα του Erdős για την περιφέρεια και τον χρωματικό αριθμό. Η εικασία του Hadwiger. Κλίκες, ανεξάρτητα σύνολα, Αριθμοί Ramsey. Καλύμματα, ταιριάσματα, Τέλεια γραφήματα. Το θεώρημα του Lovasz για τα τέλεια γραφήματα, Το θεώρημα του Dilworth. Μονοπάτια Euler και Hamilton. Η πιθανοτική τεχνική, τυχαία γραφήματα. Ακραία γραφοθεωρία, τοπολογική θεωρία γραφημάτων. Η θεωρία των ελασσόνων γραφημάτων.

Απεικόνιση γραφημάτων και εφαρμογές. Απεικόνιση επιπέδων γραφημάτων. Απεικόνιση δένδρων και Series-Parallel γραφημάτων. Απεικόνιση βασιζόμενη σε νόμους της φυσικής. Ιεραρχική απεικόνιση γραφημάτων. Ορθογώνια απεικόνιση γραφημάτων. Τρισδιάστατη απεικόνιση γραφημάτων. Δυναμική απεικόνιση γραφημάτων. Πακέτα λογισμικού.

Μελέτη σύγχρονων κρυπτογραφικών πρωτοκόλλων με έμφαση στην τεκμηρίωση ιδιοτήτων ασφάλειας. Η ύλη περιλαμβάνει σχήματα δέσμευσης, coin flipping, ανταλλαγή κλειδιού Diffie-Hellman, ψηφιακές υπογραφές, μηδενική γνώση, κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού (RSA, ElGamal), secret sharing, κρυπτονομίσματα.