Μεγάλοι πληθάριθμοι και δομική ανάκλαση

Το αξιωματικό σύστημα της πρωτοβάθμιας $ZFC$ συνολοθεωρίας αποτελεί μία από τις κυρίαρχες βάσεις για τα μαθηματικά, τουλάχιστον για αυτά που βασίζονται στην κλασική λογική. Ωστόσο, μετά την ``ανακάλυψη" της τεχνικής του forcing από τον Cohen, πληθώρα μαθηματικών προβλημάτων αποδείχθηκαν ανεξάρτητα από τα αξιώματα της $ZFC$, υποδηλώνοντας ότι η αναζήτηση νέων αξιωμάτων είναι ένα ζήτημα πρωταρχικής σημασίας. Μία από τις κυρίαρχες κατηγορίες νέων αξιωμάτων είναι τα λεγόμενα αξιώματα μεγάλων πληθαρίθμων, τα οποία μέχρι και σήμερα παίζουν καθοριστικό ρόλο στην ``εξάλειψη" ορισμένων φαινόμενων ανεξαρτησίας. Επιπλέον, όχι μόνο έχουν αποκαλυφθεί βαθιές συνδέσεις μεταξύ αυτών των αξιωμάτων και διαφόρων πεδίων των μαθηματικών, αλλά έχει παρατηρηθεί ότι τα αξιώματα μεγάλων πληθαρίθμων σχηματίζουν μία ιεραρχία που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ``μετρηθεί" η ισχύς συνέπειας των διαφόρων άλλων αξιωμάτων που έχουν προταθεί. Σε αυτή τη διπλωματική, αρχικά παρουσιάζουμε μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των μεγάλων πληθαρίθμων, περιγράφοντας τις βασικές έννοιες και τα βασικά εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε, καθώς και σχολιάζουμε ορισμένα ενδιαφέροντα συναφή ζητήματα. Στη συνέχεια, ακολουθώντας την έρευνα του Bagaria στο \cite{Bagaria}, επικεντρωνόμαστε σε ορισμένες έννοιες $C^{n}$-πληθαρίθμων και, ειδικά, σε αυτή των $C^{n}$-extendible. Προχωρώντας στο τελικό και κύριο μέρος της μελέτης μας, εξερευνούμε την περιοχή μεταξύ των supercompact πληθαρίθμων και της Aρχής του Vop\v{e}nka, όπου μια επίπεδο-προς-επίπεδο αντιστοιχία μεταξύ της ιεραρχίας των $C^{n}$-extendible πληθαρίθμων και επιπέδων της Αρχής του Vop\v{e}nka αποκαλύπτεται, όπως παρουσιάζεται στην Ενότητα 4 του \cite{Bagaria}.