Εισαγωγή στην θεωρία ακαμπτότητας

Η θεωρία γεωμετρική ακαμπτότητας (rigidity theory) ασχολείται με την ευελιξία δομών, οι οποίες ορίζονται μέσω γεωμετρικών περιορισμών (πχ. σταθερά μήκη ακμών) σε σύνολα άκαμπτων αντικειμένων (πχ. σημεία, γραμμές). Ένα κλασικό παράδειγμα είναι ένα bar-joint framework, το οποίο ορίζεται ως η τοποθέτηση ενός αφηρημένου γραφήματος σε ένα νορμαρισμένο χώρο V. Ένα τετοιο αντικείμενο καλείται άκαμπτο εάν κάθε παραμόρφωσή του προκύπτει από κάποια ισομετρία του χώρου V. Ένα διάσημο πρόβλημα στην θεωρία είναι ο χαρακτηρισμός ακαμπτότητας  ενός τρισδιάστατου framework μέσω της δομής του γραφήματος. Στο δισδιάστατο πρόβλημα γνωρίζουμε πως (σχεδόν πάντα) ένα framework είναι ελαχιστικά άκαμπτο αν και μόνο εάν το υποκείμενο γράφημα είναι Laman. Τέτοιες τεχνικές συνδυάζονται με μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων, οι οποίες καθορίζουν τον πίνακα ακαμπτότητας (rigidity matrix) ενός πεπερασμένου framework. Όταν οι δομές μας είναι άπειρες, όπως πχ. σε μαθηματικά μοντέλα Επιστήμης Υλικών, τότε τεχνικές συναρτησιακής ανάλυσης γίνονται σχετικές. Στην ειδική περίπτωση όπου τα frameworks εμφανίζουν περιοδικότητα, τότε γίνονται χρήσιμες μέθοδοι φασματικής σύνθεσης για την μελέτη του πολυωνυμικού προτύπου, το οποίο ορίζεται ως το ορθογώνιο του αναλλοίωτου υπόχωρου των (απειροστών) παραμορφώσεων του framework.